Regla de Descartes

  * El numero de ceros reales positivos es igual a numero de variaciones en el signo de los ceficientes diferents de cero de f(x).                                         
-Usa la regla de Descartes y el teorema de los ceros racionales para encontrar todos los ceros reales de cada funcion. Exprese f(x) factorizando completamente.


1- f(x)=x^3+2x^2-5x-6  (1 positivo)
         =(-x)^3+2(-x)^2-5(-x)-6  (2 negativos)




 x=-1 (x + 1)
 x=-3 (x + 3)
 x= 2 (x - 2)

f(x)=(x+1)(x+3)(x-2)
                                            

                      


  LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES EN LOS TEXTOS 

  Géométrie que establece una relación entre el número de cambios + a − o de − a +; y tantas raíces+ o dos signos −. x decrezcan: n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 =0 4 − 4 x 3 −19x 2 +106x −120= 0 . En esta ecuación, el número de cambios de signos es tres y elx − 2 = 0 , x − 3 = 0 , x − 4 = 0 , x + 5 = 0 . 6 − x 4 − x 3 − x 2 + x ; x 6 − x 5 − x 3 − x 2 + 1 ,+, −, −, −, +}, así la formulación original def ( − x ) . Así obtendríamos que la+, −, +, −, −} y tendrá, posiblemente, tres raíces o+, +, +, −, +} implica dos o cero raíces. 
  Destinamos este apartado para mostrar algunos de los enunciados de la regla de los signos de

También se puede determinar el número de raíces positivas o negativas que cualquier

ecuación polinomial pueda tener como sigue: una ecuación polinomial puede tener tantas

raíces positivas como cambios de signo contenga, de

negativas como número de veces se encuentren en sucesión dos signos.

Para nuestros propósitos, dividiremos el enunciado anterior en dos partes. La primera, aquella que

trata sobre cómo determinar el número máximo de raíces positivas de una ecuación polinomial;

mientras que la segunda, se ocupa de la determinación del número máximo de raíces negativas de

la misma. En ambos casos, como señalamos anteriormente, la ecuación polinomial habrá de ser

escrita de manera que las potencias...


El ejemplo que Descartes discute para tratar con la primera parte de su enunciado de la regla, es

una ecuación polinomial de cuarto grado sin coeficientes nulos, a saber, x

número de raíces positivas es tres también, lo que concuerda con su enunciado. De hecho como

dijimos anteriormente, la ecuación polinomial propuesta fue construida de manera que se

conocieran todas sus raíces positivas {2, 3, 4}, pues dicha ecuación fue el resultado de multiplicar

las ecuaciones

La segunda parte de su enunciado sería falsa, a menos que no hubiese términos con coeficiente

cero, pues si consideramos el caso de los polinomios:

Explicacion y ejemplo de la regla de descartes:

   -VALERIA BELLO GARCIA :)

Clase del Sr.Lopez: 9-10 de noviembre de 2011

Resolviendo Funciones Polinomicas

                                              Funciones Polinomicas
Ejemplos:

     1.f(x)=x^3-3x^2
        =x^2 (x-3)
       x^2=o ; x-3=0

• Intercepto en x: (y=0)                                     

          (0,0)
          (3,0)

• Intercepto en y: (x=0)

          (0,0)

2) y= x^3-6x^2+9x

        x(x^2-6x+9)

         x(x-3) (x-3)

      x=0     x-3=0  x-3=0

§  x=o

§  x=3

§  x=3

·         Intercepto en x:

(0,0)

(3,0)

(3,0)

·         Intercepto en y:

(0,0)

-Valeria Bello Garcia :) 

Leonhard Euler

    Leonhard Euler (1707-1783) fue sin duda el mayor matemático del siglo XVIII (su competidor más cercano para ese título es Lagrange) y uno de los más prolíficos de todos los tiempos; su lista de publicación de libros y documentos de 886 puede superarse sólo por Paul Erdös. Obras completas de Euler llenan unos 90 volúmenes. Sorprendentemente, gran parte de este producto Data de la las últimas dos décadas de su vida, cuando estaba totalmente ciego.

 Contribuciones importantes de Euler eran tan numerosas que términos como "Fórmula de Euler" o "Teorema de Euler" pueden significar muchas cosas diferentes según el contexto. Sólo en mecánica, uno tiene ángulos de Euler (para especificar la orientación de un cuerpo rígido), el teorema de Euler (que cada rotación tiene un eje), ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos y la ecuación de Euler-Lagrange (que viene del cálculo de variaciones). La "fórmula de Euler" con el que estudiantes de cálculo más norteamericanos están familiarizados define las exponenciales de números imaginarios en términos de funciones trigonométricas. Pero hay otro "La fórmula de Euler" (para usar la terminología moderna adoptada mucho después de la muerte de Euler) da los valores de la Riemann función zeta en enteros positivos pares en términos de números de Bernoulli. Hay tanto números de Euler y euleriano, y no son la misma cosa. Estudio de Euler de los puentes de Königsberg puede verse como el comienzo de la topología combinatoria (por eso la característica de Euler lleva su nombre).

Aunque nacio y se educo en Basilea,Suiza,Euler paso la mayor parte de su carrera en San Petersburgo en 1727.Se incorporó a la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1727. En 1741 viajó a Berlín por invitación de Federico el grande, pero él y Frederick nunca llegó bien y regresó a San Petersburgo, donde permaneció hasta su muerte en 1766. Prolífica de Euler causó un tremendo problema de acumulación: la Academia de San Petersburgo continuó publicando su trabajo póstumo durante más de 30 años. Euler se casó dos veces y tuvo 13 hijos, aunque todos menos cinco de ellos murieron jóvenes.

 Poderes de Euler de memoria y concentración eran legendarias. Él podía recitar la Eneida todo literal. Él no estaba preocupado por interrupciones o distracciones; de hecho, hizo gran parte de su trabajo con sus niños jugando a sus pies. Fue capaz de hacer cálculos prodigiosos en su cabeza, una necesidad después de que fue ciego. El matemático francés contemporáneo Condorcet narra la historia de dos estudiantes de Euler que independiente había sumado diecisiete términos de una serie infinita complicada, sólo para estar en desacuerdo en el 50 º lugar decimal; Euler resolvió la disputa por recálculo a la suma en su cabeza.

                                                                                                       -Valeria Bello Garcia ;D

Teorema de la factorización completa

-Si P(X) es un polinomio de grado n>0, entonces existen números complejos a,c,c₂…..cn (en donde ‘a’ que no puede ser cero) tal que :

P(x)= a(x-c₁)(x-c₂)….(x-c_n)

-Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos si el factor x-c aparece k veces en la factorización completa del polinomio P(x), decimos que c es un cero de multiplicidad k.

Ejemplo: Un polinomio con factores 3,2,1 con multiplicidad 3.

X₁=3 (x-3)

X₂=2 (x-2)

X₃=1 (x-1)

Para cada función polinomial

1.       Halle las raíces reales

2.       Halle el intercepto en y

3.       Determine los intervalos donde la grafica esta sobre el eje de x

4.       Determine los intervalos donde la grafica esta debajo del eje de x

5.       Trace un bosquejo de la grafica

Ejercicios

1.f(x)=x³-3x²

X²(x-3)

X²=0   ;  x-3=0

X₁=0    X₂=0   X₃=3

Intercepto en X = (0,0) (3,0)

Intercepto en Y= (0,0)

f(x) >0 : (3,∞)

f(x)<0 : (-∞,0) U (0,3) 

           

Monica Acevedo Molina

Clase del Sr. Lopez: 8 denoviembre de 2011

Funciones Polinomiales

f(x)= x³-x

=x(x²-1)    *Despejar*

=x(x+1)(x-1)    *Factorizar*

X₁=0                 X₂=1                  X₃=-1

Gráfica

Monica A

Clase del Sr. Lopez: 7 de noviembre de 2011

Funciones Polinomiales

donde An, An...A, son numeros reales y n es un entero no negativo. El dominio la constituyen todos los numeros reales.

Una funcion polinomial es una cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una funcion polinomial es el grado del polinomio en una variable.

1.)  f ( x ) = x ³- 4 x ² - 12 x

2) f(x)=-x⁴ + 2x³

3) f(x)=x⁵ - 5x³ + 4x

Att. Monique M. Rodriguez

Grafica de una funcion polinomial:

*Todas las impares poseen el mismo movimiento*

1.) f(x)= axⁿ

               ^{n es impar}

              ^{*a > 0*}

^{Esto indica que la grafica comienza desde abajo y termina arriba.}

            ^{n es impar}

             ^{*a < 0*}

^{Esto indica que la grafica comienza arriba y culmina abajo.}

^{2.) * Las pares son similares a las cuadraticas*}

      ^f(x)=axⁿ

       n es par

        a > 0

La grafica empesaria hacia arriba y culmina arriba.

         n es ar

         a < 0

Si la grafica comienza abajo, termine hacia abajo

Att. Ingris Bague (esta parte)

Clase del Sr. Lopez: 2 de noviembre de 2011

 

Caida Libre: Función de Posición

o   Fórmula utilizada: S(t)= -1/2 gt^2 + Vot + So

o   Significado de la formula:

·          g= 9.8 m/s

·         t = tiempo

·         Vo= velocidad inicial

·         So= posición  inicial

·         h=vit + ½ gt^2

Ejemplo:

1-      A un tiempo cero (f=0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/segundos desde una plataforma que se encuentra a una altura de 32 pies sobre el agua.

A)     Cuál es la función que define la trayectoria del clavadista?

                                  S(t)= -1/2 gt^2 + Vot + So

                                 g= 9.8 m/s ^2 a 32 pies/s^2

                 S(t)= -1/2 (32) ^2 + 16t + 32

                 S(t)= -16 t^2+ 16t + 32

B)      Cuanto tiempo le toma al clavadista alcanzar la altura maxima?

                                       t=(-b/2a)

                                     = -16/2(-16)

                                     t= 0.5 seg

C)      Cuál es la altura maxima que alcanza el clavadista? h=S(t)

S(0.5)= -16(0.5)^2  16(0.5)  32

S(0.5)= 36

h max= 36 pies

D)     Cuanto tiempo le tomo a el clavadista tocar o llegar al agua?

                                      0=-16t^2+16t + 32

                                      0=-16 t^2 (t^2- t – 2)

                                      0= (t + 1) (t - 2)

                                    t + 1=0                 t – 2=0

                                     t=-1                      t= 2 seg

E)      A que altura se encontraba l clavadista después de 1 seg de haberse lanzado?

= -16(1)^2+ 16(1) + 32

= 32 pies

                                                                                                                  -Valeria Bello Garcia :)

Problemas de Aplicación con Funciones Cuadráticas

Área máxima

Se quiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de 1000m de tela metálica. ¿Cuál es área máxima que podemos cerrar?

                       ***Recuerde***

Perímetro de un rectángulo

P= 2L +2W

Área del rectángulo

A= LW

A.      P= 2W+L

            1000=2W+L

           =1000-2W=L

B.      A=LW

            (1000-2W)W

            =1000W-2W²

        C.W= -b/2a

           -1000/-4

            =250m

D.      1000-2(250)=L

                500m=L

E.       W= 250m

F.       A= (500)(250)

              =125000m²

MONICA A. 

Ejemplos de funciones cuadraticas, en froma general y estandar

Forma General:

El valor del vertice y el eje de simetria se sabe por

Ejemplo:

*Ahora que ya hemos encontrado la vertice, ele eje de simetria, el intercepto en y y en x proseguimos anotandolo y prosiguiendo con los siguientes pasos: buscar concavidad, table de valores y grafica.
* La concavidad es lo que determina hacia donde señala la grafica ( si hacia arriba o abajo).
    Si a > 0 sera concava hacia arriba
    Si a < 0 sera concava hacia abajo.

a.) V= ( 1, -1 )
b.)eje de simetria: x=1
    * este se saca de la misma x en la vertice*
c.) Intercepto en y: (0, 1)
d.) Interceptos en x: ( 1.7, 0)
                                 ( .3  , 0)
e.) concavidad: a > 0 concava hacia arriba
f.) Tabla de valores:
     * este paso lo puede hacer en la calculadora ya que es BIEN preciso y solamente tiene que escribir la funcion del ejercicio y la calcula misma le busca los valores de la tabla*

Luego de todo esto dibujan su grafica y ya estan listos. :)

Forma Estandar:

*Aqui se utiliza el metodo de completar el cuadrado completamente.

* Esta tiende ser la dorma mas facil ya que rapidamente te brinda al resolver la vertice y el eje de dimetria.

Ejemplo:

Repetiremos lo mismo que hicimos con la forma general.

a.) V= (1 , 4)

b.) eje de simetria: x= 1

c.)concavidad: a < 0 concava hacia abajo

d.)Intercepto en y: (0 , 2)

e.) Intercepto en x: ( .4 , 0)

                               ( -2.4, 0)

f.) Tabla de valores: