Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita de las siguientes formas:

*Forma Estándar:  f(x)= a(x+h)² + k                      (a≠0)

*Forma General: f(x)= ax² + bx+ c = 0

La grafica de una función cuadrática es en forma de U y se conoce como parábola.

Vértice de una Parábola

*Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo.

*Si una parábola abre hacia abajo tiene un punto máximo.

*Este punto más bajo o más alto de la parábola se conoce como el vértice de la parábola.

La fórmula del vértice de una parábola es:

f(x)= a(x-h)²+k

El vértice de la parábola es (h,k).

Escribiendo funciones cuadráticas transformadas

EJEMPLO:

La función f(x)= x² es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades hacia abajo a la izquierda para formar g.

La función seria representada de la siguiente manera:

g(x)= -6 (x+3)²

Monica Acevedo Molina

Tomar en cuenta:

1. vertice (h,k)
2. eje de simetria
3. intercepto en y
4. intercepto en x
5. concavidad
6. tabla de valores
7. grafica

             Forma General                                             Forma Estandar

              f(x)=ax+bx+c                                                  f(x)=a(x-h)²+k 

• El eje de simetria es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la parabola en dos mitades congruentes.

• La funcion cuadratica f(x) = a(x-h)²+k tiene el eje de simetria x=h.

F(x)= x²+2x-8

Funciones uno a uno y sus inversas

Definición:

·         De una función con dominio A se conoce como uno a uno.

·         Si no hay dos elementos de A que tengan el mismo.

·         Rango, esto es:

o   F(x¹) ± (x²) siempre que A ----> B, f es uno a uno

Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica más de una vez.

Funciones inversa

Las funciones uno a uno son importantes porque estas tienen funciones inversas con la diferencia siguiente:

·         Sea f una función uno a uno con Dominio A y Rango B. Entonces su función inversa f tiene Dominio B y Rango A esta definido por:

o   f(y) = x óf(x)=y

Composicion de Funciones

Dadas dos funciones f y g, la funcion compuesta f o g (tambien conocida como composicion de f yg ) esta definida por:

a.) (f o g)(x)= f(g(x))

b.) (g o f)(x)=g(f(x))

* Recuerde o significa compuesto.

 En otras palabras donde este x en f se sustituira por g y viseversa, segun lo pida el ejercicio.Veamos unos ejemplos:

*Tengan en cuenta que todo es sustituir, venga el caso que lo que sustituyas depende de lo que te pida el maestro en el ejercicio.

Hasta la proxima!
Echo por: Ingris Bague
Clase del Sr.Lopez el 29 de septiembre

Combinación de Funciones

Suma, diferencias, productos y cocientes.           

·         Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones como: f+g, f-g, (fg) y f/g, de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y dividen números reales.

·         Se define la información f+g : (f+g)(x) = f(x)+g(x), etc.

Ejemplos:

·         f(x)= 2x-4

·         g(X)= x-2

a.       (f+g)

2x-4+x-2

=3x-6

b.      (f-g)

2x-4-(x-2)

2x-4-x+2

=x-2

c.       (fg)

2x-4(x-2)

2x² -4x-4x+8

=2x²-8x+8

d.      f/g

Monica Acevedo Molina

Funciones de Dominio Partido

Función dominio partido

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio.  Por ejemplo:

                           

La gráfica de esta función es:

  

El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥).  El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥).  Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f.  Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en  x = 0.

Aquí otro ejemplo :

 

Funciones crecientes y decrecientes, tasa de cambio promedio

Las funiciones se emplean con frecuencia para moldear cantidades cambiantes.
Es importante saber donde sube la grafica y donde baja.

• f es creciente en un intervalo 1 si  f(x₁) ˂ f(x₂) siempre que x₁˂ x₂en el intervalo 1, x & y crecen.
• f es decreciente en un intervalo 1 si  f(x₁) ˃ f(x₂) siempre que x₁˃ x₂en el intervalo 1, x & y decrece.

Entrada por: Monique M. Rodriguez

Continuacion de la Transformaciones de Funciones

*Pensamiento muy util dado por el Prof.Lopez: "El fracaso es una gran oportunidad para empezar otra vez con mas INTELIGENCIA...". (: Profundo.

Tabla de Valores

Ya observamos los distintos tipos de desplazamientos, reflexion, estiramiento y acortamineto al momento de graficar. Ahora añadiremos un paso mas, la tabla de valores; para ver la exactitud de los puntos de la grafica y que esta se vea lo mas linda y precisa posible.

Ejemplo#1:

Ahora demos otro ejemplo con mas de 1 grafica en el plano. Veamos.

Ejemplo#2:



Funcion par e impar

Supongamos que f sea una funcion:

f es par si f(-x)=f(x) La grafica de una funcion par es simetrica con respecto al eje de y.

f es impar si f(-x)= -f (x) La grafica de una funcion es simetrica con respecto al origen.

*Todo los terminos cambian su sigo cuando se trata de simetria en el origen lo cual es lo mismo a una funcion impar*


Posteado por: Ingris B.
Clases del Sr.Lopez :(19-20 de septiembre de 2011)