Funciones Polinomiales

donde An, An...A, son numeros reales y n es un entero no negativo. El dominio la constituyen todos los numeros reales.

Una funcion polinomial es una cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una funcion polinomial es el grado del polinomio en una variable.

1.)  f ( x ) = x ³- 4 x ² - 12 x

2) f(x)=-x⁴ + 2x³

3) f(x)=x⁵ - 5x³ + 4x

Att. Monique M. Rodriguez

Grafica de una funcion polinomial:

*Todas las impares poseen el mismo movimiento*

1.) f(x)= axⁿ

               ^{n es impar}

              ^{*a > 0*}

^{Esto indica que la grafica comienza desde abajo y termina arriba.}

            ^{n es impar}

             ^{*a < 0*}

^{Esto indica que la grafica comienza arriba y culmina abajo.}

^{2.) * Las pares son similares a las cuadraticas*}

      ^f(x)=axⁿ

       n es par

        a > 0

La grafica empesaria hacia arriba y culmina arriba.

         n es ar

         a < 0

Si la grafica comienza abajo, termine hacia abajo

Att. Ingris Bague (esta parte)

Clase del Sr. Lopez: 2 de noviembre de 2011

 

Caida Libre: Función de Posición

o   Fórmula utilizada: S(t)= -1/2 gt^2 + Vot + So

o   Significado de la formula:

·          g= 9.8 m/s

·         t = tiempo

·         Vo= velocidad inicial

·         So= posición  inicial

·         h=vit + ½ gt^2

Ejemplo:

1-      A un tiempo cero (f=0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/segundos desde una plataforma que se encuentra a una altura de 32 pies sobre el agua.

A)     Cuál es la función que define la trayectoria del clavadista?

                                  S(t)= -1/2 gt^2 + Vot + So

                                 g= 9.8 m/s ^2 a 32 pies/s^2

                 S(t)= -1/2 (32) ^2 + 16t + 32

                 S(t)= -16 t^2+ 16t + 32

B)      Cuanto tiempo le toma al clavadista alcanzar la altura maxima?

                                       t=(-b/2a)

                                     = -16/2(-16)

                                     t= 0.5 seg

C)      Cuál es la altura maxima que alcanza el clavadista? h=S(t)

S(0.5)= -16(0.5)^2  16(0.5)  32

S(0.5)= 36

h max= 36 pies

D)     Cuanto tiempo le tomo a el clavadista tocar o llegar al agua?

                                      0=-16t^2+16t + 32

                                      0=-16 t^2 (t^2- t – 2)

                                      0= (t + 1) (t - 2)

                                    t + 1=0                 t – 2=0

                                     t=-1                      t= 2 seg

E)      A que altura se encontraba l clavadista después de 1 seg de haberse lanzado?

= -16(1)^2+ 16(1) + 32

= 32 pies

                                                                                                                  -Valeria Bello Garcia :)

Problemas de Aplicación con Funciones Cuadráticas

Área máxima

Se quiere construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa. Se cuenta con un rollo de 1000m de tela metálica. ¿Cuál es área máxima que podemos cerrar?

                       ***Recuerde***

Perímetro de un rectángulo

P= 2L +2W

Área del rectángulo

A= LW

A.      P= 2W+L

            1000=2W+L

           =1000-2W=L

B.      A=LW

            (1000-2W)W

            =1000W-2W²

        C.W= -b/2a

           -1000/-4

            =250m

D.      1000-2(250)=L

                500m=L

E.       W= 250m

F.       A= (500)(250)

              =125000m²

MONICA A. 

Ejemplos de funciones cuadraticas, en froma general y estandar

Forma General:

El valor del vertice y el eje de simetria se sabe por

Ejemplo:

*Ahora que ya hemos encontrado la vertice, ele eje de simetria, el intercepto en y y en x proseguimos anotandolo y prosiguiendo con los siguientes pasos: buscar concavidad, table de valores y grafica.
* La concavidad es lo que determina hacia donde señala la grafica ( si hacia arriba o abajo).
    Si a > 0 sera concava hacia arriba
    Si a < 0 sera concava hacia abajo.

a.) V= ( 1, -1 )
b.)eje de simetria: x=1
    * este se saca de la misma x en la vertice*
c.) Intercepto en y: (0, 1)
d.) Interceptos en x: ( 1.7, 0)
                                 ( .3  , 0)
e.) concavidad: a > 0 concava hacia arriba
f.) Tabla de valores:
     * este paso lo puede hacer en la calculadora ya que es BIEN preciso y solamente tiene que escribir la funcion del ejercicio y la calcula misma le busca los valores de la tabla*

Luego de todo esto dibujan su grafica y ya estan listos. :)

Forma Estandar:

*Aqui se utiliza el metodo de completar el cuadrado completamente.

* Esta tiende ser la dorma mas facil ya que rapidamente te brinda al resolver la vertice y el eje de dimetria.

Ejemplo:

Repetiremos lo mismo que hicimos con la forma general.

a.) V= (1 , 4)

b.) eje de simetria: x= 1

c.)concavidad: a < 0 concava hacia abajo

d.)Intercepto en y: (0 , 2)

e.) Intercepto en x: ( .4 , 0)

                               ( -2.4, 0)

f.) Tabla de valores:

Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita de las siguientes formas:

*Forma Estándar:  f(x)= a(x+h)² + k                      (a≠0)

*Forma General: f(x)= ax² + bx+ c = 0

La grafica de una función cuadrática es en forma de U y se conoce como parábola.

Vértice de una Parábola

*Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo.

*Si una parábola abre hacia abajo tiene un punto máximo.

*Este punto más bajo o más alto de la parábola se conoce como el vértice de la parábola.

La fórmula del vértice de una parábola es:

f(x)= a(x-h)²+k

El vértice de la parábola es (h,k).

Escribiendo funciones cuadráticas transformadas

EJEMPLO:

La función f(x)= x² es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades hacia abajo a la izquierda para formar g.

La función seria representada de la siguiente manera:

g(x)= -6 (x+3)²

Monica Acevedo Molina

Tomar en cuenta:

1. vertice (h,k)
2. eje de simetria
3. intercepto en y
4. intercepto en x
5. concavidad
6. tabla de valores
7. grafica

             Forma General                                             Forma Estandar

              f(x)=ax+bx+c                                                  f(x)=a(x-h)²+k 

• El eje de simetria es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la parabola en dos mitades congruentes.

• La funcion cuadratica f(x) = a(x-h)²+k tiene el eje de simetria x=h.

F(x)= x²+2x-8

Funciones uno a uno y sus inversas

Definición:

·         De una función con dominio A se conoce como uno a uno.

·         Si no hay dos elementos de A que tengan el mismo.

·         Rango, esto es:

o   F(x¹) ± (x²) siempre que A ----> B, f es uno a uno

Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica más de una vez.

Funciones inversa

Las funciones uno a uno son importantes porque estas tienen funciones inversas con la diferencia siguiente:

·         Sea f una función uno a uno con Dominio A y Rango B. Entonces su función inversa f tiene Dominio B y Rango A esta definido por:

o   f(y) = x óf(x)=y

Composicion de Funciones

Dadas dos funciones f y g, la funcion compuesta f o g (tambien conocida como composicion de f yg ) esta definida por:

a.) (f o g)(x)= f(g(x))

b.) (g o f)(x)=g(f(x))

* Recuerde o significa compuesto.

 En otras palabras donde este x en f se sustituira por g y viseversa, segun lo pida el ejercicio.Veamos unos ejemplos:

*Tengan en cuenta que todo es sustituir, venga el caso que lo que sustituyas depende de lo que te pida el maestro en el ejercicio.

Hasta la proxima!
Echo por: Ingris Bague
Clase del Sr.Lopez el 29 de septiembre